Bir vektör alanının akışı ve dolaşımı

NRichard Feynman'ın ders materyallerine dayanarak

Elektrik yasalarını vektör alanları cinsinden açıklarken, vektör alanının matematiksel olarak önemli iki özelliği ile karşı karşıyayız: akı ve dolaşım. Bu matematiksel kavramların ne olduğunu ve pratik anlamlarının ne olduğunu anlamak güzel olurdu.

Sorunun ikinci kısmını hemen cevaplamak kolaydır, çünkü akış ve dolaşım kavramları konunun merkezinde yer alır. Maxwell denklemleri, tüm modern elektrodinamiğin aslında dayandığı.

Bu nedenle, örneğin, elektromanyetik indüksiyon yasası şu şekilde formüle edilebilir: elektrik alanının (E) kapalı bir döngü (C) boyunca sirkülasyonu, manyetik alan B'nin bununla sınırlanan yüzey S boyunca akısındaki değişim oranına eşittir. döngü B.

Aşağıda, alan özelliklerinin matematiksel olarak nasıl belirlendiğini, bu alan özelliklerinin hangi alan özelliklerinden alındığını ve elde edildiğini, oldukça basit bir şekilde, açık ve net örneklerle açıklayacağız.

Vektör alan akışı

Başlamak için, incelenen alanın etrafına tamamen keyfi bir şekle sahip belirli bir kapalı yüzey çizelim. Bu yüzeyi tasvir ettikten sonra, alan dediğimiz çalışma nesnesinin bu kapalı yüzeyden akıp akmadığını soruyoruz. Tüm bunların neyle ilgili olduğunu anlamak için basit bir sıvı örneği ele alalım.

Diyelim ki belirli bir sıvının hız alanını araştırıyoruz. Böyle bir örnek için şunu sormak mantıklıdır: birim zamanda bu yüzeyden geçen sıvı, bu yüzey tarafından sınırlanan hacme akandan daha mı fazla? Başka bir deyişle, çıkış hızı her zaman öncelikle içten dışa doğru mu yönlendirilir?

"Vektör alan akısı" ifadesiyle (ve bizim örneğimiz için "sıvı hız akısı" ifadesi daha doğru olacaktır), verilen bir sınırla sınırlanan dikkate alınan hacmin yüzeyinden akan toplam hayali sıvı miktarını adlandırmayı kabul edeceğiz. kapalı yüzey (akışkan debisi için, birim zamanda hacimden ne kadar akışkan çıkar).

Sonuç olarak, yüzey elemanından geçen akı, hızın dikey bileşeni ile yüzey elemanı alanının ürününe eşit olacaktır. Daha sonra, tüm yüzey boyunca toplam (toplam) akı, toplam yüzey alanı ile içten dışa doğru sayacağımız hızın ortalama normal bileşeninin ürününe eşit olacaktır.

Şimdi elektrik alanına geri dönelim. Elektrik alan, elbette, bir sıvının akış hızı olarak kabul edilemez, ancak yukarıda sıvının hızının akışı olarak tanımladığımıza benzer şekilde, akışın matematiksel bir kavramını ortaya koyma hakkına sahibiz.

Sadece bir elektrik alanı durumunda, akısı, elektrik alan şiddetinin ortalama normal bileşeni E tarafından belirlenebilir. Ek olarak, elektrik alanının akısı mutlaka kapalı bir yüzey aracılığıyla değil, herhangi bir sınırlı yüzey aracılığıyla belirlenebilir. sıfır olmayan alan S .

Bir vektör alanının dolaşımı

Alanların, daha fazla netlik için, her noktada teğetin yönünün alan şiddetinin yönüyle çakıştığı sözde kuvvet çizgileri şeklinde gösterilebileceği herkes tarafından iyi bilinir.

Akışkan benzetmesine geri dönelim ve akışkanın hız alanını hayal edelim, kendimize bir soru soralım: akışkan dolaşımda mı? Yani, öncelikle hayali bir kapalı döngü yönünde mi hareket ediyor?

Daha fazla netlik için, büyük bir kaptaki sıvının bir şekilde hareket ettiğini hayal edin (Şekil A) ve aniden hacminin neredeyse tamamını dondurduk, ancak hacmi, içinde hiçbir şeyin olmadığı, düzgün bir şekilde kapalı bir tüp şeklinde donmamış halde bırakmayı başardık. sıvının duvarlara sürtünmesi (şekil b).

Bu tüpün dışında, sıvı buza dönüşmüştür ve bu nedenle artık hareket edemez, ancak sıvı tüpün içinde örneğin onu saat yönünde hareket ettiren hakim bir momentum olması koşuluyla hareketine devam edebilir (Şek. °C). Daha sonra tüpteki sıvı hızının ve tüpün uzunluğunun ürünü, sıvı dolaşım hızı olarak adlandırılacaktır.

Benzer şekilde, bir vektör alanı için bir dolaşım tanımlayabiliriz, yine alanın herhangi bir şeyin hızı olduğu söylenemese de, yine de bir kontur boyunca "dolaşım"ın matematiksel özelliğini tanımlayabiliriz.

Dolayısıyla, bir vektör alanının hayali bir kapalı döngü boyunca dolaşımı, vektörün döngünün geçiş yönündeki ortalama teğetsel bileşeninin, döngünün uzunluğuyla çarpımı olarak tanımlanabilir.