Mantık Cebirinin Temelleri ve Kanunları

19. yüzyılın ortalarında İrlandalı matematikçi George Boğa mantık cebirini geliştirdi ("Düşünme yasalarının incelenmesi"). Bu nedenle mantığın cebiri de denir boole cebiri.

Mantık cebiri, harf atamaları vererek, mantıksal dönüşümlerin işlemlerini eylem sembollerinde ifade ederek ve bu eylemler için belirlenmiş kuralları ve aksiyomları kullanarak, ifade mantığı açısından verilen bir problemi çözmede akıl yürütme sürecinin algoritmalarda tam olarak tanımlanmasına izin verir. yani bu sorunu çözen matematiksel olarak yazılmış bir programa sahip olmak.

İfadelerin doğruluğunu veya yanlışlığını belirtmek için (yani, ifadeleri değerlendirmek için değerler getirmek), mantık cebiri bu durumda uygun olan ikili bir sistem kullanır. İfade doğruysa 1 değerini, yanlışsa 0 değerini alır. İkili sayılardan farklı olarak mantıksal 1'ler ve 0'lar bir nicelik değil, bir durum ifade eder.

Bu nedenle, 1'in voltajın varlığı ve 0'ın yokluğu olduğu Boole cebri kullanılarak açıklanan elektrik devrelerinde, birkaç kaynaktan devrenin bir düğümüne voltaj beslemesi (yani, birkaç mantıksal biriminin gelmesi) ayrıca, düğümdeki toplam voltajı değil, yalnızca varlığını gösteren mantıksal bir birim olarak gösterir.

Mantık devrelerinin giriş ve çıkış sinyalleri açıklanırken sadece mantıksal 0 veya 1 değerlerini alan değişkenler kullanılır. Çıkış sinyallerinin girişe bağımlılığı belirlenir. mantıksal işlem (fonksiyon)… Girdi değişkenlerini X1 ve X2 ile ve bunlar üzerinde mantıksal bir işlemle elde edilen çıktıyı y ile gösterelim.

Bunu düşünmek üç temel mantıksal işlem, yardımı ile giderek karmaşıklaşanlar tarif edilebilir.

1. VEYA işlemi — mantıksal toplama:

Değişkenlerin olası tüm değerleri göz önüne alındığında, VEYA işlemi, girdideki en az bir birimin çıktıda bir birim üretmeye yeterli olması olarak tanımlanabilir. İşlemin adı, VEYA birleşiminin semantik anlamı ile şu ifadede açıklanır: «VEYA bir girdi ise VEYA ikinci bir ise, o zaman çıktı birdir.»

2. İşlem VE — mantıksal çarpma:

Değişkenlerin tüm değerleri dikkate alındığında, VE işlemi, çıktıda bir tane elde etmek için girdilerdeki tüm olanları eşleştirme ihtiyacı olarak tanımlanır: “VE bir girdi ve ikincisi bir ise, o zaman çıktı birdir. «

3. İşlem DEĞİL — mantıksal olumsuzlama veya tersine çevirme. Değişkenin üzerinde bir çubukla gösterilir.

Tersine çevrildiğinde, değişkenin değeri tersine çevrilir.

Mantıksal cebirin temel yasaları:

1. Sıfır Kümesi Yasası: diğer değişkenlerin değerlerinden bağımsız olarak, değişkenlerden herhangi biri sıfırsa, herhangi bir sayıda değişkenin çarpımı yok olur:

2. Evrensel küme yasası — herhangi bir sayıdaki değişkenin toplamı, diğer değişkenlerden bağımsız olarak, değişkenlerden en az birinin değeri bir ise bir olur:

3. Tekrar Yasası — ifadede tekrarlanan değişkenler atlanabilir (başka bir deyişle, Boole cebirinde sayısal bir katsayı ile üs ve çarpma yoktur):

4. Çift ters çevirme yasası — iki kez gerçekleştirilen ters çevirme boş bir işlemdir:

5. Tamamlayıcılık yasası — her değişkenin çarpımı ve tersi sıfırdır:

6. Her değişkenin ve onun tersinin toplamı birdir:

7. Koruyucu Kanunlar — çarpma ve toplama işlemlerinin sonucu, değişkenlerin takip ettiği sıraya bağlı değildir:

8. Birleşik Kanunlar — çarpma ve toplama işlemleri sırasında değişkenler herhangi bir sırada gruplanabilir:

9. Dağıtım Kanunları — toplam katsayıyı parantezlerin dışına koymaya izin verilir:

10. Absorpsiyon kanunları - tüm faktörlerde ve terimlerde bir değişken içeren ifadeleri basitleştirmenin yollarını belirtin:

11. De Morgan kanunları - çarpımın tersi, değişkenlerin tersiniminin toplamıdır:

toplamın tersine çevrilmesi, değişkenlerin tersine çevrilmesinin ürünüdür: