Temas Devresi Cebirinin Kanunları, Boole Cebiri

Röle devrelerinin yapısının ve çalışma koşullarının analitik bir kaydı, devrelerin analitik eşdeğer dönüşümlerini gerçekleştirmeyi, yani yapısal formülleri dönüştürerek, operasyonlarında benzer şemalar bulmayı mümkün kılar. Dönüştürme yöntemleri, özellikle temas devrelerini ifade eden yapısal formüller için tamamen geliştirilmiştir.

Temas devreleri için, mantık cebirinin matematiksel aygıtı, daha kesin olarak, önerme hesabı veya Boole cebiri (geçen yüzyılın matematikçisi J. Boole'den sonra) adı verilen en basit çeşitlerinden biri kullanılır.

Önermeler hesabı başlangıçta bağımlılığı (karmaşık yargıların onları oluşturan basit önermelerin doğruluğu veya yanlışlığı üzerindeki doğruluğu veya yanlışlığı) incelemek için geliştirilmiştir. Özünde, önermeler hesabı iki sayının bir cebiridir, yani bir cebirdir. her bağımsız bağımsız değişkenin ve her işlevin iki değerden birine sahip olabileceği.

Bu, kontak devrelerini dönüştürmek için Boole cebiri kullanma olasılığını belirler, çünkü yapısal formülde yer alan argümanların (kontaklar) her biri yalnızca iki değer alabilir, yani kapalı veya açık olabilir ve tüm fonksiyon yapısal tarafından temsil edilir. formül kapalı veya açık bir döngüyü ifade edebilir.

Boole cebiri şunları sunar:

1) sıradan cebirde olduğu gibi isimleri olan nesneler: bağımsız değişkenler ve fonksiyonlar - ancak, sıradan cebirin aksine, Boole cebirinde her ikisi de yalnızca iki değer alabilir: 0 ve 1;

2) temel mantık işlemleri:

• aşağıdaki gibi tanımlanan mantıksal toplama (veya ayırma, mantıksal VEYA, ? işaretiyle gösterilir): işlemin sonucu, ancak ve ancak işlemin tüm argümanları 0'a eşitse 0'dır, aksi takdirde sonuç 1'dir;

• aşağıdaki gibi tanımlanan mantıksal çarpma (veya birleştirme, mantıksal AND, ? ile gösterilir veya hiç belirtilmez): işlemin sonucu, ancak ve ancak işlemin tüm argümanları 1'e eşitse 1'dir, aksi takdirde sonuç 0'dır;

• aşağıdaki gibi tanımlanan olumsuzlama (veya tersi, mantıksal DEĞİL, argümanın üzerinde bir çubukla gösterilir): işlemin sonucu, argümanın zıt değerine sahiptir;

3) mantıksal ifadeleri dönüştürmek için kuralları tanımlayan aksiyomlar (Boole cebiri yasaları).

Mantıksal işlemlerin her birinin hem değişkenler hem de aşağıda Boolean işlevleri olarak adlandırılacak olan işlevler üzerinde gerçekleştirilebileceğini unutmayın... Sıradan cebire benzeterek, Boolean cebirinde mantıksal çarpma işleminin mantıksal çarpma işlemine göre önceliğe sahip olduğunu hatırlayın. ekleme işlemi.

Boolean ifadeler, işlemin bağımsız değişkenleri olarak adlandırılan bir dizi nesne (değişkenler veya işlevler) üzerindeki mantıksal işlemlerin birleştirilmesiyle oluşturulur.

Mantıksal ifadelerin Boole cebiri yasaları kullanılarak dönüştürülmesi genellikle en aza indirmek amacıyla gerçekleştirilir, çünkü ifade ne kadar basitse, mantıksal ifadenin teknik uygulaması olan mantık zincirinin karmaşıklığı o kadar küçük olur.

Boole cebirinin yasaları, bir dizi aksiyom ve sonuç olarak sunulur. Bunlar, değişkenlerin farklı değerlerini değiştirerek oldukça basit bir şekilde kontrol edilebilir.

Bir Boole işlevi için herhangi bir mantıksal ifadenin teknik analoğu, bir mantık diyagramıdır... Bu durumda, bir Boole işlevinin bağlı olduğu değişkenler, bu devrenin harici girişlerine bağlanır, bir Boole işlevinin değeri, Devrenin harici çıkışı ve mantıksal bir ifadedeki her mantıksal işlem, bir mantıksal öğe tarafından gerçekleştirilir.

Böylece, mantık devresinin çıkışındaki her bir giriş sinyali seti için, bu değişkenler setinin bir boole fonksiyonunun değerine karşılık gelen bir sinyal üretilir (daha sonra aşağıdaki kuralı kullanacağız: 0 - düşük sinyal seviyesi , 1 — yüksek sinyal seviyesi).

Mantık devrelerini oluştururken, değişkenlerin girişe bir parafaz kodunda beslendiğini varsayacağız (yani, değişkenlerin hem doğrudan hem de ters değerleri mevcuttur).

Tablo 1, bazı mantık öğelerinin GOST 2.743-91'e göre geleneksel grafik tanımlarını ve bunların yabancı muadillerini göstermektedir.

Boole cebrinin üç işlemini gerçekleştiren elemanlara ek olarak (VE, OR, DEĞİL), sekmesinde. 1, ana öğeden türetilen işlemleri gerçekleştiren öğeleri gösterir:

- AND -NOT - mantıksal çarpmanın olumsuzlanması, aynı zamanda Schaefer hareketi olarak da adlandırılır (| ile gösterilir)

- OR -NOT - Peirce'in oku olarak da adlandırılan mantıksal tamamlayıcının olumsuzlanması (? ile gösterilir)

Mantık kapılarını seri olarak birbirine bağlayarak, herhangi bir Boole işlevini uygulayabilirsiniz.

Genel olarak röle devrelerini ifade eden, yani tepki veren kartalların sembollerini içeren yapısal formüller, sadece kapalı veya açık devreyi ifade eden iki değerin fonksiyonları olarak kabul edilemez. Bu nedenle, bu tür işlevlerle çalışırken, Boole cebirinin sınırlarını aşan bir dizi yeni bağımlılık ortaya çıkar.

Boole cebirinde dört çift temel yasa vardır: iki yer değiştirme, iki kombinatoryal, iki dağılım ve iki yasal ters çevirme. Bu kanunlar, farklı ifadelerin denkliğini kurar, yani alelade cebirdeki özdeşliklerin ikamesi gibi birbirinin yerine geçebilen ifadeleri ele alır. Denklik sembolü olarak adi cebirdeki eşitlik sembolü (=) ile aynı olan sembolü alıyoruz.

Temas devreleri için Boole cebri yasalarının geçerliliği, eşdeğer ifadelerin sol ve sağ taraflarına karşılık gelen devreler dikkate alınarak belirlenecektir.

Seyahat yasaları

Eklemek için: x + y = y + x

Bu ifadelere karşılık gelen şemalar Şekil 1'de gösterilmektedir. 1 A.

Sol ve sağ devreler normalde açık devrelerdir ve her biri elemanlardan biri (X veya Y) tetiklendiğinde kapanır, yani bu devreler eşdeğerdir. Çarpma için: x ·y = y ·NS.

Bu ifadelere karşılık gelen şemalar Şekil 1'de gösterilmektedir. 1b, eşdeğerlikleri de açıktır.

Pirinç. 1

Kombinasyon Kanunları

Toplama için: (x + y) + z = x + (y + z)

Çarpma için: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Bu ifadelere karşılık gelen eşdeğer devre çiftleri Şekil 1'de gösterilmektedir. 2, bir, b

Pirinç. 2

Dağıtım Kanunları

Toplamaya karşı çarpma: (x + y) +z = x + (y + z)

Toplama ve Çarpma. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Bu ifadelere karşılık gelen şemalar Şekil 1'de gösterilmektedir. 3, bir, b.

Pirinç. 3.

Bu şemaların eşdeğerliği, farklı kontak çalıştırma kombinasyonları dikkate alınarak kolayca doğrulanabilir.

ters çevirme kanunları

Toplama üzerine: NS + c = NS·c

İfadenin sol tarafının üzerindeki çubuk, bir olumsuzlama veya tersine çevirme işaretidir. Bu işaret, tüm fonksiyonun, olumsuzlama işaretinin altındaki ifadeye göre zıt anlama sahip olduğunu gösterir. Ters fonksiyonun tamamına karşılık gelen bir diyagram çizmek mümkün değildir, ancak eksi işaretli ifadeye karşılık gelen bir diyagram çizilebilir. Böylece, formül, Şekil 1'de gösterilen diyagramlarla gösterilebilir. 4, bir.

Pirinç. 4.

Soldaki diyagram x + y ifadesine, sağdaki ise NS ·c'ye karşılık gelir.

Bu iki devre çalışırken birbirine zıttır, yani: X, Y uyarılmamış elemanlara sahip sol devre açık devre ise sağ devre kapalıdır. Sol devrede ise, elemanlardan biri tetiklendiğinde devre kapanır ve sağ devrede ise tam tersine açılır.

Eksi işaretin tanımı gereği, x + y fonksiyonu x + y fonksiyonunun tersi olduğundan, x + y = NS·in olduğu açıktır.

Çarpma ile ilgili olarak: NS · c = NS + c

Karşılık gelen şemalar, Şek. 4, b.

Translokatif ve birleşimsel ve kanunlar ve toplamaya göre çarpmanın dağılma kanunu (sıradan cebirin benzer kanunlarına karşılık gelir).Bu nedenle, yapısal formüllerin terimlerin toplama ve çarpma sırasına göre dönüştürülmesi, terimlerin parantez dışına yerleştirilmesi ve parantezlerin genişletilmesi durumunda, sıradan cebirsel ifadelerle çalışmak için belirlenen kuralları takip edebilirsiniz. Çarpmaya göre dağılma toplama yasası ve ters çevirme yasaları Boolean cebirine özgüdür.