AC devrelerinde hesaplamalar için neden karmaşık sayılar kullanılır?

Bildiğiniz gibi, elektrik mühendisliğindeki bazı tipik problemleri çözmek için karmaşık sayılar kullanılır. Ama ne için kullanılıyorlar ve neden bu şekilde yapılıyor? Bu makale boyunca anlamaya çalışacağımız şey budur. Gerçek şu ki, karmaşık yöntem veya karmaşık genlikler yöntemi, karmaşık AC devrelerini hesaplamak için uygundur. Başlangıç ​​olarak, matematiğin bazı temellerini hatırlayalım:

Görüldüğü gibi z karmaşık sayısı, birbirinden farklı olan ve metinde farklı şekilde gösterilen sanal kısım ile gerçek kısmı içermektedir. Karmaşık sayı z'nin kendisi cebirsel, trigonometrik veya üstel biçimde yazılabilir:

Tarihsel arka plan

Hayali sayılar fikrinin 1545 yılında İtalyan matematikçi, mühendis, filozof, doktor ve astrolog Girolamo Cardano'nun bu denklem çözme yöntemini "The Great Art" adlı incelemesinde yayınlamasıyla başladığına inanılıyor. , bu çalışmanın yayınlanmasından 6 yıl önce Niccolò'nun ona bu fikri Tartaglia'ya (İtalyan bir matematikçi) verdiğini itiraf etti. Çalışmasında Kradano, formun denklemlerini çözüyor:

Bu denklemleri çözme sürecinde, bilim adamı, karesi eksi bir "-1" e eşit olacak, yani sanki a'nın karekökü varmış gibi "gerçek olmayan" bir sayının varlığını kabul etmek zorunda kaldı. negatif sayı ve şimdi karesi alınmışsa, kök altındaki karşılık gelen negatif sayı olduğu ortaya çıkacaktır. Cardano, buna göre çarpma kuralını belirtti:

Matematik camiası, üç yüzyıldır Cardano tarafından önerilen yeni yaklaşıma alışma sürecindeydi. Hayali sayılar yavaş yavaş kök salıyor, ancak matematikçiler kabul etmekte isteksizler. Gauss'un cebirin temel teoremini kanıtladığı cebir üzerine çalışmalarının yayınlanmasına kadar, karmaşık sayılar nihayet tam olarak kabul edildi, 19. yüzyıl yaklaşıyordu.

Hayali sayılar, matematikçiler için gerçek bir cankurtaran haline geldi çünkü hayali sayıların varlığını kabul ederek en karmaşık problemlerin çözülmesi çok daha kolay hale geldi.

Böylece kısa sürede elektrik mühendisliğine geldi. AC devreleri bazen çok karmaşıktı ve bunları hesaplamak için birçok integralin hesaplanması gerekiyordu ki bu genellikle çok elverişsizdi.

Son olarak, 1893'te, parlak elektrik mühendisi Carl August Steinmetz, Chicago'da Uluslararası Elektroteknik Kongresi'nde "Karmaşık sayılar ve bunların elektrik mühendisliğindeki uygulamaları" başlıklı bir raporla konuştu; AC akım için elektrik devrelerinin hesaplanması.

Bunu fizik dersinden biliyoruz. alternatif akım — bu, hem büyüklüğü hem de yönü zamanla değişen bir akımdır.

Teknolojide, alternatif akımın farklı biçimleri vardır, ancak günümüzde en yaygın olanı alternatif sinüzoidal akımdır, bu, elektriğin iletildiği, üretilen, dönüştürülen alternatif akım şeklinde her yerde kullanılan şeydir. trafolar tarafından tüketilir ve yükler tarafından tüketilir. Sinüzoidal bir akım, sinüzoidal (harmonik) bir yasaya göre periyodik olarak değişir.

Akım ve gerilimin efektif değerleri kökün genlik değerlerinden iki kat daha azdır:

Kompleks yöntemde akım ve gerilimlerin efektif değerleri şu şekilde yazılır:

Elektrik mühendisliğinde, hayali birimin "j" harfiyle gösterildiğine dikkat edin, çünkü burada "i" harfi zaten akımı belirtmek için kullanılmıştır.

İtibaren Ohm Yasası direncin karmaşık değerini belirler:

Karmaşık değerlerin toplanması ve çıkarılması cebirsel biçimde, çarpma ve bölme ise üstel biçimde yapılır.

Ana parametrelerin belirli değerlerine sahip belirli bir devre örneğini kullanarak karmaşık genlikler yöntemini ele alalım.

Karmaşık sayıları kullanarak bir problem çözme örneği

verilen:

• bobin voltajı 50 V,

• direnç direnci 25 Ohm,

• bobin endüktansı 500 mH,

• kapasitörün elektrik kapasitesi 30 mikrofaraddır,

• bobin direnci 10 Ohm,

• şebeke frekansı 50 Hz.

Bulun: ampermetre ve voltmetre okumalarının yanı sıra wattmetre.

Cevap:

Başlamak için, gerçek ve hayali kısımlardan oluşan seri bağlı elemanların karmaşık direncini yazıyoruz, ardından aktif-endüktif bir elemanın karmaşık direncini buluyoruz.

Hatırlamak! Üstel formu elde etmek için, gerçek ve hayali kısımların karelerinin toplamının kareköküne eşit z modülünü ve sanal kısmın gerçek kısma bölümünün arktanjantına eşit phi'yi bulun.

Ardından akımı ve buna göre ampermetrenin okumalarını buluruz:

Böylece ampermetre 0,317 A'lik bir akım gösteriyor; bu, tüm seri devredeki akımdır.

Şimdi kapasitörün kapasitif direncini bulacağız, ardından karmaşık direncini belirleyeceğiz:

Daha sonra bu devrenin toplam karmaşık empedansını hesaplıyoruz:

Şimdi devreye uygulanan etkin voltajı buluyoruz:

Voltmetre, 19,5 voltluk bir etkin voltaj gösterecektir.

Son olarak, akım ve gerilim arasındaki faz farkını hesaba katarak wattmetrenin göstereceği gücü buluyoruz.

Wattmetre 3,51 watt gösterecektir.

Artık elektrik mühendisliğinde karmaşık sayıların ne kadar önemli olduğunu anlıyorsunuz. Elektrik devrelerinin uygun şekilde hesaplanması için kullanılırlar. Birçok elektronik ölçüm cihazı aynı temelde çalışır.