Biot-Savart yasası ve manyetik indüksiyon vektörünün dolaşım teoremi

1820'de Fransız bilim adamları Jean-Baptiste Biot ve Félix Savard, doğru akımların manyetik alanlarını incelemek için ortak deneyler sırasında, bir iletkenden akan doğru akımın manyetik indüksiyonunun sonucu olarak kabul edilebileceğini kesin olarak kanıtladılar. akım ile bu telin tüm bölümlerinin genel eylemi. Bu, manyetik alanın üst üste binme ilkesine (alanların üst üste binme ilkesi) uyduğu anlamına gelir.

Bir grup DC kablosu tarafından oluşturulan manyetik alan aşağıdakilere sahiptir: manyetik indüksiyondeğeri, her bir iletken tarafından ayrı ayrı oluşturulan manyetik indüksiyonların vektörel toplamı olarak tanımlanır. Yani, doğru akım iletkeninin endüksiyonu B, dikkate alınan doğru akım iletkeni I'in temel bölümlerine (dl) ait temel endüksiyonların (db) vektörel toplamı ile oldukça temsil edilebilir.

Bir doğru akım iletkeninin temel bir bölümünü izole etmek pratik olarak gerçekçi değildir, çünkü DC her zaman kapalı.Ancak bir tel tarafından oluşturulan, yani belirli bir telin tüm temel parçaları tarafından üretilen toplam manyetik indüksiyonu ölçebilirsiniz.

Böylece, Biot-Sovar yasası, iletkenin bu bölümünden belirli bir r mesafesinde ve belirli bir doğru akım I ile iletkenin bölümünün (bilinen uzunluk dl) manyetik indüksiyon B değerini bulmanızı sağlar. seçilen bölümden belirli bir gözlem yönü (akımın yönü ile iletken bölümünden iletkenin yakınındaki alanda incelenen noktaya yön arasındaki açının sinüsü aracılığıyla ayarlanır):

Deneysel olarak, manyetik indüksiyon vektörünün yönünün sağ el vidası veya gimbal kuralı ile kolayca belirlendiği tespit edilmiştir: eğer gimbalin dönüşü sırasında öteleme hareketinin yönü, teldeki doğru akımın I yönü ile çakışırsa, o zaman dengeleme kolunun dönüş yönü belirli bir akım tarafından üretilen manyetik indüksiyon vektörü B'nin yönünü belirler.

Akım taşıyan düz bir telin manyetik alanı ve Bio-Savart yasasının buna uygulanmasının bir gösterimi şekilde gösterilmiştir:

Dolayısıyla, bir sabit akım iletkeninin küçük bölümlerinin her birinin toplam manyetik alana katkısını entegre edersek, yani eklersek, bir akım iletkeninin manyetik indüksiyonunu belirli bir R yarıçapında bulmak için bir formül elde ederiz. .

Aynı şekilde, Bio-Savard yasasını kullanarak, farklı konfigürasyonlardaki doğru akımlardan ve uzayda belirli noktalardaki manyetik indüksiyonları hesaplayabilirsiniz, örneğin, bir akım ile dairesel bir devrenin merkezindeki manyetik indüksiyon, tarafından bulunur. aşağıdaki formül:

Manyetik indüksiyon vektörünün yönü, gimbal kuralına göre kolayca bulunur, ancak şimdi gimbal kapalı akım yönünde döndürülmelidir ve gimbalin ileri hareketi, manyetik indüksiyon vektörünün yönünü gösterecektir.

Üreten alan tarafından verilen akım konfigürasyonunun simetrisini hesaba katarsak, genellikle manyetik alana ilişkin hesaplamalar basitleştirilebilir. Burada manyetik indüksiyon vektörünün dolaşım teoremini kullanabilirsiniz (elektrostatikteki Gauss teoremi gibi). «Manyetik indüksiyon vektörünün dolaşımı» nedir?

Uzayda keyfi şekle sahip belirli bir kapalı döngü seçelim ve koşullu olarak hareketinin pozitif yönünü belirtelim.Bu döngünün her noktası için, manyetik indüksiyon vektörü B'nin o noktadaki döngüye teğet üzerindeki izdüşümünü bulabilirsiniz. Daha sonra, konturun tüm bölümlerinin temel uzunlukları ile bu miktarların çarpımlarının toplamı, manyetik indüksiyon vektörü B'nin bu kontur boyunca dolaşımıdır:

Pratik olarak burada genel bir manyetik alan oluşturan tüm akımlar ya söz konusu devreye nüfuz edebilir ya da bir kısmı devrenin dışında olabilir. Dolaşım teoremine göre: kapalı bir döngüde doğru akımların manyetik indüksiyon vektörü B'nin dolaşımı, döngüye giren tüm doğru akımların toplamı ile sayısal olarak manyetik sabit mu0 ürününe eşittir. Bu teorem, 1826'da Andre Marie Ampere tarafından formüle edildi:

Yukarıdaki şekli düşünün. Burada I1 ve I2 akımları devreye girer, ancak farklı yönlere yönlendirilirler, bu da şartlı olarak farklı işaretlere sahip oldukları anlamına gelir.Pozitif işaret, manyetik indüksiyon yönü (temel kurala göre) seçilen devrenin baypas yönü ile çakışan bir akıma sahip olacaktır. Bu durum için dolaşım teoremi şu şekli alır:

Genel olarak, manyetik indüksiyon vektörü B'nin dolaşımı için teorem, manyetik alan süperpozisyon ilkesini ve Biot-Savard yasasını takip eder.

Örneğin, bir doğru akım iletkeninin manyetik indüksiyon formülünü türetiyoruz. Merkezinden bu telin geçtiği ve telin kontur düzlemine dik olduğu daire şeklinde bir kontur seçelim.

Böylece dairenin merkezi doğrudan iletkenin merkezinde, yani iletkende bulunur. Resim simetrik olduğundan, B vektörü daireye teğet olarak yönlendirilmiştir ve bu nedenle teğet üzerindeki izdüşümü her yerde aynıdır ve B vektörünün uzunluğuna eşittir. Dolaşım teoremi aşağıdaki gibi yazılır:

Bu nedenle, düz bir iletkenin doğru akımla manyetik indüksiyon formülü aşağıdaki gibidir (bu formül yukarıda zaten verilmiştir). Benzer şekilde, dolaşım teoremi kullanılarak, alan çizgilerinin resminin görselleştirilmesinin kolay olduğu simetrik DC konfigürasyonlarının manyetik indüksiyonları kolayca bulunabilir.

Dolaşım teoreminin uygulanmasının pratik olarak önemli örneklerinden biri, toroidal bir indüktör içindeki manyetik alanı bulmaktır.

Sarım sayısı N olan çörek şeklindeki bir karton çerçeve üzerinde yuvarlaktan tura sarılmış toroidal bir bobin olduğunu varsayalım. Bu konfigürasyonda, manyetik indüksiyon hatları halkanın içine alınır ve eş merkezli (birbirinin içinde) daireler şeklindedir. .

Halkanın iç ekseni boyunca manyetik indüksiyon vektörünün yönüne bakarsanız, akımın her yere saat yönünde yönlendirildiği ortaya çıkar (yalpalama kuralına göre). Bobinin içindeki manyetik indüksiyon çizgilerinden birini (kırmızı ile gösterilen) düşünün ve onu r yarıçaplı dairesel bir halka olarak seçin. Daha sonra belirli bir devre için dolaşım teoremi aşağıdaki gibi yazılır:

Ve bobin içindeki alanın manyetik indüksiyonu şuna eşit olacaktır:

Manyetik alanın tüm enine kesiti boyunca neredeyse tek tip olduğu ince bir toroidal bobin için, manyetik indüksiyon ifadesini, birim uzunluk başına dönüş sayısını dikkate alarak sonsuz uzunlukta bir solenoid içinmiş gibi yazmak mümkündür - N :

Şimdi, manyetik alanın tamamen içeride olduğu sonsuz uzunlukta bir solenoid düşünün. Dolaşım teoremini seçilen dikdörtgen kontura uyguluyoruz.

Burada manyetik indüksiyon vektörü yalnızca 2. kenarda sıfır olmayan bir projeksiyon verecektir (uzunluğu L'ye eşittir). n - "birim uzunluk başına dönüş sayısı" parametresini kullanarak, sonuçta multitonCoy toroidal bobin ile aynı forma indirgenen böyle bir sirkülasyon teoremi formu elde ederiz: