Sayı sistemleri

Bir sayı sistemi, farklı sayısal işaretler kullanarak sayıları temsil etmek için bir dizi kuraldır. Sayı sistemleri iki türe ayrılır: konumsal olmayan ve konumsal.

Konumsal sayı sistemlerinde, her basamağın değeri, kapladığı konuma, yani basamaklar kümesinde kapladığı yere bağlı değildir. Romen rakam sisteminde yalnızca yedi basamak vardır: bir (I), beş (V), on (X), elli (L), yüz (C), beş yüz (D), bin (M). Bu sayılar (semboller) kullanılarak, kalan sayılar toplama ve çıkarma yoluyla yazılır. Örneğin IV, 4 sayısının gösterimidir (V — I), VI, 6 sayısıdır (V + I) vb. 666 sayısı Roma sisteminde şu şekilde yazılır: DCLXVI.

Bu gösterim, şu anda kullandığımızdan daha az kullanışlıdır. Burada altı bir sembolle (VI), altı onluk başka bir sembolle (LX), altı yüz üçüncüyle (DC) yazılır. Roma rakam sisteminde yazılan sayılarla aritmetik işlemler yapmak oldukça zordur. Ayrıca, konumsal olmayan sistemlerin ortak bir dezavantajı, son derece hantal notasyonla sonuçlanacak şekilde içlerinde yeterince büyük sayıları temsil etmenin karmaşıklığıdır.

Şimdi konumsal sayı sisteminde aynı sayı olan 666'yı ele alalım. Bunda tek işaret 6, sondan itibaren birlerin sayısı, sondan bir önceki yerdeyse onlar sayısı, üçüncü sıradaysa yüz sayısı anlamına gelir. Bu sayı yazma ilkesine konumsal (yerel) denir. Böyle bir kayıtta her rakam sadece tarzına göre değil, aynı zamanda numaranın yazıldığı andaki konumuna göre de sayısal bir değer alır.

Konumsal sayı sisteminde, A = +a1a2a3 … ann-1an şeklinde temsil edilen herhangi bir sayı bir toplam olarak gösterilebilir.

burada n - bir sayı görüntüsündeki sonlu basamak sayısı, ii sayısı i-go hanesi, d - sayı sisteminin tabanı, i - kategorinin sıra numarası, dm-i - i-ro kategorisinin "ağırlığı" . ai basamakları 0 <= a <= (d — 1) eşitsizliğini sağlamalıdır.

Ondalık gösterim için d = 10 ve ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Birler ve sıfırlardan oluşan sayılar birlikte kullanıldıklarında ondalık veya ikili sayı olarak algılanabildikleri için genellikle sayı sisteminin tabanı belirtilir, örneğin (1100)2-binary, (1100)10-decimal.

Dijital bilgisayarlarda, ondalık dışındaki sistemler yaygın olarak kullanılmaktadır: ikili, sekizli ve onaltılık.

İkili sistem

Bu sistem için d = 2 ve burada sadece iki haneye izin verilir, yani ai = 0 veya 1.

İkili sistemde ifade edilen herhangi bir sayı, verilen bitin ikili basamağının iki katının tabanının gücünün çarpımının toplamı olarak temsil edilir. Örneğin 101.01 sayısı şu şekilde yazılabilir: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, ondalık sistemdeki sayıya karşılık gelir: 4 + 1 + 0.25 = 5.25

Çoğu modern dijital bilgisayarda, ikili sayı sistemi, bir makinedeki sayıları temsil etmek ve bunlar üzerinde aritmetik işlemler gerçekleştirmek için kullanılır.

İkili sayı sistemi, ondalık sayıya kıyasla, aritmetik aygıtın ve bellek aygıtının devrelerini ve devrelerini basitleştirmeyi ve bilgisayarın güvenilirliğini artırmayı mümkün kılar. Bir ikili sayının her bir bitinin basamağı, "açık / kapalı" durumlarında güvenilir bir şekilde çalışan transistörler, diyotlar gibi elemanların "açık / kapalı" durumları ile temsil edilir. İkili sistemin dezavantajları, özel bir programa göre orijinal dijital verileri ikili sayı sistemine ve kararın sonuçlarını ondalık sayıya çevirme ihtiyacını içerir.

Sekizli sayı sistemi

Bu sistemin tabanı d == 8'dir. Sayılar, sayıları temsil etmek için kullanılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Sekizli sayı sistemi, bilgisayarda problem çözmeye (programlama sürecinde) hazırlanmaya, bir makinenin çalışmasını kontrol etmeye ve bir programda hata ayıklamaya yardımcı olarak kullanılır. Bu sistem, sayının ikili sistemden daha kısa bir temsilini verir. Sekizli sayı sistemi, basitçe ikili sisteme geçmenizi sağlar.

Onaltılık sayı sistemi

Bu sistemin tabanı d = 16'dır. Sayıları temsil etmek için 16 karakter kullanılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ve A … F karakterleri 10, 11, 12, 13, 14 ve 15 ondalık sayılarını temsil eder. Onaltılı sayı (1D4F) 18, ondalık sayı 7503'e karşılık gelir çünkü (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Onaltılık gösterim, ikili sayıların sekizliden daha kompakt yazılmasına izin verir. Bazı bilgisayarların giriş ve çıkış cihazlarında ve numara sırası görüntüleme cihazlarında uygulama bulur.

İkili ondalık sayı sistemi

Sayıların ikili ondalık sistemdeki gösterimi aşağıdaki gibidir. Sayının ondalık gösterimi esas alınır ve ardından basamaklarının her biri (0'dan 9'a kadar) tetrad adı verilen dört basamaklı bir ikili sayı şeklinde yazılır, yani temsil etmek için bir işaret kullanılmaz. ondalık sistemin her basamağı, ancak dört.

Örneğin, ondalık 647.59, BCD 0110 0100 0111, 0101 1001'e karşılık gelir.

İkili ondalık sayı sistemi, bir ara sayı sistemi olarak ve giriş ve çıkış sayılarını kodlamak için kullanılır.

Bir sayı sistemini diğerine aktarma kuralları

Bilgisayar cihazları arasındaki bilgi alışverişi, esas olarak ikili sayı sisteminde temsil edilen sayılarla gerçekleştirilir. Ancak bilgi kullanıcıya ondalık sistemde sayılarla, komut adresleme ise sekizli sistemde sunulur. Bu nedenle, bir bilgisayarla çalışma sürecinde sayıları bir sistemden diğerine aktarma ihtiyacı. Bunu yapmak için aşağıdaki genel kuralı kullanın.

Bir tam sayıyı herhangi bir sayı sisteminden başka bir sayı sistemine çevirmek için, bu sayıyı yeni sistemin tabanına, bölüm bölenden küçük olmayana kadar art arda bölmek gerekir. Yeni sistemdeki sayı, bölme işleminde kalanlar şeklinde sondan başlayarak yani sağdan sola doğru yazılmalıdır.

Örneğin, ondalık 1987'yi ikili sayıya çevirelim:

İkili biçimde 1987 ondalık sayısı 11111000011'dir, yani (1987)10 = (11111000011)2

Herhangi bir sistemden ondalık sayıya geçerken, sayı, tabanın kuvvetlerinin karşılık gelen katsayılarla toplamı olarak temsil edilir ve ardından toplamın değeri hesaplanır.

Örneğin 123 sekizlik sayısını ondalık sayıya çevirelim: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, yani (123)8 = (83)10

Bir sayının kesirli kısmını herhangi bir sistemden diğerine aktarmak için, bu kesrin ve sonuçta ortaya çıkan kesirli kısımların yeni sayı sistemine göre art arda çarpılması gerekir. Yeni sistemde bir sayının kesirli kısmı, ilkinden başlayarak ortaya çıkan ürünlerin bütün parçaları şeklinde oluşturulmaktadır. Çarpma işlemi, belirli bir kesinliğe sahip bir sayı hesaplanana kadar devam eder.

Örneğin, 0.65625 ondalık kesri ikili sayı sistemine çevirelim:

Beşinci çarpımın kesirli kısmı yalnızca sıfırlardan oluştuğu için daha fazla çarpmaya gerek yoktur. Bu, verilen ondalık sayının hatasız ikiliye dönüştürüldüğü anlamına gelir, yani. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Sekizli ve onaltılıdan ikiliye ve tersine dönüştürmek zor değildir. Bunun nedeni, tabanlarının (d — 8 ve d — 16) iki tamsayısına (23 = 8 ve 24 = 16) karşılık gelmesidir.

Sekizli veya onaltılık sayıları ikiliye dönüştürmek için, sayılarının her birini sırasıyla üç veya dört basamaklı bir ikili sayı ile değiştirmek yeterlidir.

Örneğin sekizlik sayı (571)8 ile onaltılık sayı (179)16'yı ikili sayı sistemine çevirelim.

Her iki durumda da aynı sonucu elde ederiz, yani. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Bir sayıyı ikili ondalıktan ondalığa dönüştürmek için, ikili ondalık sistemde gösterilen sayının her bir dörtlüsünü ondalık sistemde gösterilen bir rakamla değiştirmeniz gerekir.

Örneğin (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 sayısını ondalık gösterimde yazalım, yani (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)